机器之心报道机器之心编辑部《老友记》中的罗斯终于能把沙发搬进屋了。生活中处处充满数学，比如在经典美剧《老友记》中，罗斯要搬家，却在和瑞秋抬沙发上楼梯扶手时翻了车。这涉及了数学领域一个著名的未解决难题 —— 移动沙发问题（the moving sofa problem）。来源：《老友记 S05E16》该问题是由加拿大数学家 Leo Moser 于 1966 年正式提出：在宽度为 1 的 L 形平面走廊中，能够通过一个直角转弯的「沙发」的最大面积是多少？1968 年，数学家 John Michael Hammersley 提出了一种简单的解法。他将沙发设计成类似于一个电话听筒的形状，由两个四分之一圆和一个中间的矩形块组成，中间的矩形块中挖去了一个半圆形，从而得出的沙发最大面积为 2.2074。但遗憾的是，这并不是最优解。1992 年，美国数学家 Gerver 在 Hammersley 沙发的基础上进行了改进，算出的最大沙发面积为 2.2195，虽然比 Hammersley 沙发面积略大一些，但在方法上却聪明得多。Gerver 沙发由 18 条不同的曲线段组成，其中包括圆弧、圆的渐开线以及圆的渐开线的渐开线等多种曲线。每条曲线段都由一个单独的解析表达式描述，这使得 Gerver 沙发在数学上非常复杂。Gerver 推测他的解决方案是最优的，但他无法证明他的沙发是唯一一个（并且是最大面积的）满足这个强条件的沙发。2024 年 12 月 2 日，韩国学者 Jineon Baek 发表了一篇新论文，声称证明了 Gerver 确实是正确的 —— 他的沙发是最优的。这项研究在社交媒体（如 x）上的热度非常高，引起了很多人的关注。图源：x@Scientific_Bird图源：x@morallawwithin不过，Jineon Baek 的证明论文足足有 119 页，题目为《Optimality of Gerver’s Sofa》。相关专家验证证明的正确性还需要一些时间。论文地址：https://arxiv.org/pdf/2411.19826这道困扰人类 58 年的数学难题终于有了答案，不少网友也发表了自己的看法。「我甚至不是数学家，自从 20 年前听说这个问题后，我就一直在思考它。每次我需要把东西通过门时，我都会想到这个问题。」「我没想到这个形状会是最优的，这 18 个部分看起来不够优雅。」证明过程简述论文共分 8 章，目录如下：摘要只有一句话，「通过证明具有 18 个曲线段的 Gerver 沙发的确达到了最大面积 2.2195，进而解决了移动沙发问题」。下图为 Gerver 的沙发 G。刻度表示构成 G 边界的 18 条解析曲线和线段的端点，包含 G 的支撑走廊 L_t 在右侧以灰色表示。在证明 Gerver 的沙发 G 达到最大面积的过程中，作者除了在科学计算器上进行数值计算之外，没有使用任何的计算机辅助。下图 1.3 为从走廊（顶部）和沙发（底部）视角来看移动沙发的移动。下面为作者要证明的定理 1.1.1。这个问题之所以很难，是因为没有一个通用的公式可以计算所有可能的移动沙发面积。因此，为了解决这个问题，作者证明了最大面积的移动沙发 S_max 的一个属性，被称为可注入性条件（injectivity condition）。对于每个满足条件的移动沙发 S，作者将定义一个更大的形状 R，它类似于 Gerver 沙发的形状（下图 1.2）。那么 R 的面积 Q (S) 就是 S 面积的上限，如果是 Gerver 沙发 G，则 Q (S) 与 S 的精确面积相匹配。S 的可注入性条件确保区域 R 的边界形成 Jordan 曲线，从而能够使用格林定理计算 Q (S)。然后，移动沙发 S 面积的上界 Q (S) 相对于 S 的最大值如下所示：作者使用 Brunn-Minkowski 理论将 Q 表示为凸体元组 (K，B，D) 空间 L 上的二次函数（上图 1.2），并使用 Mamikon 定理建立 Q 在 L 上的全局凹性（下图 1.13）。作者使用加州大学戴维斯分校数学系教授 Dan Romik [Rom18] 关于 Gerver 沙发 G 的局部最优方程，来证明 S = G 局部最大化 Q (S)。由于 Q 是凹的，因此 G 也全局最大化 Q。并且，由于上界 Q 与 G 处的面积相匹配，因此沙发 G 也全局最大化了面积，从而证明定理 1.1.1。具体来讲，定理 1.1.1 的完整证明分为以下三个主要步骤：步骤 1 ：限制最大面积移动沙发 S_max 的可能形状；步骤 2 ：建立 S_max 的可注入性条件；步骤 3 ：构建满足可注入性条件的移动沙发 S 面积的上界 Q (S)，并最大化关于 S 的 Q (S)。作者提供了步骤 1、2、3 的更细分步骤。其中步骤 1-(a) 将 S_max 的可能形状缩小为单调沙发（monotone sofa），即由支撑走廊内角雕刻出的凹痕的凸体（下图 1.4）。步骤 1-(b) 重新证明了 Gerver 的一个重要局部最优条件，即 S_max 的边长应该相互平衡（定理 1.3.1）。由于 Gerver 的原始证明存在逻辑漏洞，没有解决移动沙发的连通性问题，因此作者引入了新的想法并重新进行了证明。步骤 1-(c) 使用前面的步骤和基本几何来表明 S_max 在移动过程中旋转了整整一个直角。步骤 2 证明了 S_max 上的可注入性条件，这是之后建立上限 Q 的关键。它表明 L 内角 (0，0) 的轨迹在移动沙发的视角（参考系）中不会形成自环（下图 1.9）。为了证明 S_max 的这一条件，作者在 S_max 上建立了一个新的微分不等式（等式 (1.9)。该不等式受到了 Romik 的一个 ODE 的启发，该 ODE 平衡了 Gerver 沙发的微分边（等式 (1.8)）。步骤 3-(a) 将所有移动沙发的空间 S 扩展为具有单射条件的凸体元组 (K，B，D) 的集合 L，使得每个 S 一一映射到 (K，B，D) ∈ L（但不一定到 L）。该凸体描述了包围 S 的区域 R 的不同部分（上图 1.2）。步骤 3-(b) 定义了扩展域 L 上的上界 Q。作者遵循 R 的边界，并使用格林定理和 Brunn-Minkowski 理论中关于 K、B 和 D 的二次面积表达式来表示其面积 Q。同时使用单射条件和 Jordan 曲线定理严格证明 Q (K，B，D) 是 S 面积的上界。步骤 3-(c) 使用 Mamikon 定理确定 Q 在 L 上的凹度（上图 1.13）。步骤 3-(d) 计算由 Gerver 沙发 G 产生的凸体 (K，B，D) ∈ L 处 Q 的方向导数。Romik [Rom18] 在 G 上的局部最优 ODE 用于表明方向导数始终为非正值。这意味着 G 是 Q 在 L 中的局部最优值。Q 在 L 上的凹度意味着 G 也是 Q 在 L 中的全局最优值。由于 G 处 Q 的值与面积匹配，沙发 G 也全局最大化了面积，最终完成定理 1.1.1 的证明。更具体的证明细节请参考原论文。作者介绍这篇论文的作者 Jineon Baek，本科毕业于韩国浦项科技大学，博士期间就读于美国密歇根大学安娜堡分校。现为韩国首尔延世大学的博士后研究员，导师是 Joonkyung Lee。Jineon Baek2018 年讲解关于非对角线 Erdős-Szekeres 凸多边形问题视频截图他主要研究兴趣是组合数学和几何学中的优化问题，这类问题往往通过简单却有趣的表述，能够吸引更广泛的受众。他在人工智能领域也发表过一些相关文章。他在医学图像处理、教育数据挖掘等领域发表了多篇会议和期刊论文，特别是在 X 射线 CT 图像去噪、考试分数预测、标准化考试准备推荐系统等方面有所贡献。查阅 Jineon Baek 发表过的文章，就会发现这已经不是他第一次研究移动沙发问题了。在今年 6 月他就移动沙发的上限问题进行了研究。在新文章发布的 12 月 2 日当天，arxiv 上显示，这篇论文提交了一个更新版本（v2），之后撤回了该版本。现在，不少网友在网上讨论《Optimality of Gerver’s Sofa》。「非常直观，正是大多数人会猜测的那样。不过，我猜证明这一点要困难得多吧？」「在现实生活中，答案取决于天花板的高度以及沙发是否带有可倾斜的靠背。」「对于沙发来说，这真的是一个糟糕的设计。」你怎么看这个移动沙发的最优解呢？参考链接：https://x.com/deedydas/status/1865060166322032764https://x.com/Scientific_Bird/status/1865116279574528088https://jcpaik.github.io/CV.pdf©THE END转载请联系本公众号获得授权投稿或寻求报道：liyazhou@jiqizhixin.com